Sistemas de equações do 1º grau
Um sistema de equações do 1º grau é um conjunto de duas ou mais equações que devem ser resolvidas em conjunto, encontrando valores para duas (ou mais) incógnitas que satisfaçam todas as equações ao mesmo tempo.
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Conteúdo completo
O que é um sistema de equações do 1º grau
Um sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas é formado por duas equações que envolvem as mesmas duas variáveis, geralmente x e y, e a solução do sistema é o par de valores (x, y) que torna as duas equações verdadeiras ao mesmo tempo. Por exemplo, no sistema x+y=10 e x−y=2, a solução é x=6 e y=4, pois 6+4=10 e 6−4=2, satisfazendo as duas equações simultaneamente. Sistemas aparecem quando um problema tem duas informações desconhecidas relacionadas por duas condições diferentes.
Método da substituição
No método da substituição, isolamos uma das variáveis em uma das equações e substituímos essa expressão na outra equação. No sistema x+y=10 e x−y=2, isolamos x na primeira equação: x=10−y. Substituímos na segunda: (10−y)−y=2, ou seja, 10−2y=2, então −2y=2−10=−8, e y=4. Voltando à primeira equação: x=10−4=6. A solução é x=6 e y=4, o mesmo resultado obtido anteriormente, confirmando a consistência do método.
Método da adição
No método da adição, somamos as duas equações (multiplicando uma delas por um número, se necessário) de forma que uma das variáveis seja eliminada. No sistema x+y=10 e x−y=2, ao somar diretamente as duas equações, o y se cancela: (x+y)+(x−y) = 10+2, ou seja, 2x=12, então x=6. Substituindo em x+y=10: 6+y=10, então y=4. Esse método é especialmente útil quando os coeficientes de uma das variáveis já são opostos ou podem ser facilmente ajustados para se cancelarem.
Sistemas com coeficientes que exigem ajuste
Quando nenhuma variável tem coeficientes iguais ou opostos, multiplicamos uma ou ambas as equações por números convenientes antes de somar. No sistema 2x+3y=13 e x+y=5, multiplicamos a segunda equação por −2 para que o x se cancele: −2x−2y=−10. Somando com a primeira: (2x+3y)+(−2x−2y) = 13+(−10), ou seja, y=3. Substituindo em x+y=5: x+3=5, então x=2. A solução do sistema é x=2 e y=3.
Resolução de problemas com sistemas de equações
Sistemas de equações são muito úteis para resolver problemas com duas incógnitas relacionadas. Por exemplo: "A soma das idades de Ana e Bruno é 40 anos, e Ana tem 6 anos a mais que Bruno. Quais são as idades?" Chamando a idade de Ana de a e de Bruno de b, montamos o sistema a+b=40 e a=b+6. Substituindo a segunda na primeira: (b+6)+b=40, então 2b+6=40, 2b=34, b=17. Como a=b+6, a=17+6=23. Ana tem 23 anos e Bruno tem 17 anos.
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Perguntas frequentes
O que é um sistema de equações?
É um conjunto de duas ou mais equações que compartilham as mesmas incógnitas, e resolver o sistema significa encontrar valores que satisfaçam todas as equações simultaneamente.
Como funciona o método da substituição?
Isolamos uma variável em uma das equações e substituímos essa expressão na outra equação, transformando o sistema em uma equação com apenas uma incógnita, mais fácil de resolver.
Como funciona o método da adição?
Somamos as duas equações (às vezes multiplicando uma delas antes) de forma que uma das variáveis se cancele, sobrando uma equação com apenas uma incógnita para resolver.