Teorema de Pitágoras
O Teorema de Pitágoras é uma das relações mais famosas e úteis da geometria, aplicável a qualquer triângulo retângulo (aquele que possui um ângulo de 90°).
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Elementos do triângulo retângulo
Um triângulo retângulo é aquele que possui um ângulo interno de 90° (ângulo reto). O lado oposto ao ângulo reto, sempre o maior dos três lados, é chamado hipotenusa. Os outros dois lados, que formam o ângulo reto entre si, são chamados catetos. Em um triângulo com catetos de 6 cm e 8 cm, esses dois lados se encontram formando um ângulo de 90°, e a hipotenusa é o lado que "fecha" o triângulo, ligando as pontas livres dos dois catetos.
O enunciado do Teorema de Pitágoras
O Teorema de Pitágoras afirma que, em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos dois catetos, expresso pela fórmula a² = b² + c². Para um triângulo com catetos b=6 e c=8, calculamos: a² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100; como a² = 100, a hipotenusa é a = √100 = 10. Esse é um exemplo clássico de terno pitagórico (3, 4, 5 multiplicado por 2), em que as três medidas são números inteiros que satisfazem o teorema.
Calculando um cateto desconhecido
O Teorema de Pitágoras também permite calcular um cateto quando conhecemos a hipotenusa e o outro cateto, isolando o cateto desconhecido na fórmula: b² = a² − c². Se a hipotenusa mede 13 cm e um dos catetos mede 5 cm, calculamos: b² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144; então b = √144 = 12 cm. É importante lembrar que a hipotenusa é sempre subtraída (não somada) quando estamos calculando um cateto, já que ela é o maior lado do triângulo, isolado sozinho do lado esquerdo da equação original.
Aplicações práticas do Teorema de Pitágoras
O teorema é muito usado para calcular distâncias que não podem ser medidas diretamente. Por exemplo, para saber o comprimento de uma escada apoiada em uma parede, sabendo que a base da escada está a 3 m da parede e o topo toca a parede a 4 m de altura, calculamos a escada (hipotenusa): a² = 3² + 4² = 9+16 = 25, então a = √25 = 5 m de escada. Esse mesmo raciocínio é usado para calcular a diagonal de uma tela de televisão, de uma quadra esportiva ou de um terreno retangular.
Ternos pitagóricos
Ternos pitagóricos são conjuntos de três números naturais que satisfazem exatamente o Teorema de Pitágoras, sem precisar de raízes não exatas. O mais famoso é (3, 4, 5), pois 3²+4²=9+16=25=5². A partir de um terno conhecido, podemos gerar outros multiplicando todos os valores pelo mesmo número: multiplicando (3,4,5) por 2, obtemos (6,8,10), que também é um terno pitagórico, já que 6²+8²=36+64=100=10². Conhecer alguns ternos pitagóricos de cor agiliza a resolução de muitos problemas geométricos.
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Perguntas frequentes
Qual é a fórmula do Teorema de Pitágoras?
a² = b² + c², onde a é a medida da hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto) e b e c são as medidas dos catetos (os dois lados que formam o ângulo reto).
Como calcular a hipotenusa de um triângulo com catetos 3 e 4?
Aplicamos a² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25. Como a² = 25, a hipotenusa a = √25 = 5.
O Teorema de Pitágoras funciona para qualquer triângulo?
Não, ele só é válido para triângulos retângulos, ou seja, aqueles que possuem um ângulo interno de exatamente 90°.