Circunferência: ângulos e posições relativas
Esta unidade aprofunda o estudo da circunferência iniciado no 8º ano, agora explorando ângulos centrais e inscritos, além das posições relativas entre uma reta e uma circunferência (tangente, secante ou externa) e entre duas circunferências (externas, tangentes ou secantes).
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Ângulo central
O ângulo central é aquele cujo vértice está exatamente no centro da circunferência, e seus lados são dois raios que definem um arco entre eles. A medida do ângulo central é sempre igual à medida do arco que ele determina, ambos medidos em graus. Se um ângulo central mede 100°, o arco correspondente a esse ângulo também mede 100° (lembrando que a circunferência completa tem 360°, então esse arco representa 100°÷360° ≈ 27,8% do total da circunferência).
Ângulo inscrito e sua relação com o ângulo central
O ângulo inscrito tem o vértice sobre a própria circunferência, e seus lados são duas cordas que também determinam um arco. A propriedade fundamental é que o ângulo inscrito é sempre igual à metade do ângulo central que enxerga o mesmo arco. Se um ângulo central mede 120°, qualquer ângulo inscrito que "olhe" para o mesmo arco medirá 120°÷2=60°. Um caso particular importante é quando o arco é uma semicircunferência (ângulo central de 180°): nesse caso, todo ângulo inscrito correspondente mede exatamente 180°÷2=90°, formando sempre um ângulo reto.
Posições relativas entre reta e circunferência
Uma reta pode se relacionar de três formas com uma circunferência: sendo externa (não toca a circunferência em nenhum ponto), tangente (toca em exatamente um ponto) ou secante (cruza a circunferência em dois pontos). A reta tangente tem uma propriedade especial: ela é sempre perpendicular ao raio no ponto exato de tangência, formando um ângulo de 90° entre eles. Essa propriedade é muito usada em problemas de geometria que envolvem rodas encostadas em superfícies planas ou polias conectadas por correias tangentes.
Posições relativas entre duas circunferências
Duas circunferências podem estar em diferentes posições, dependendo da distância entre seus centros comparada à soma ou diferença de seus raios: externas (não se tocam, distância maior que a soma dos raios), tangentes externamente (tocam-se em um ponto, distância igual à soma dos raios), secantes (cruzam-se em dois pontos), tangentes internamente (uma dentro da outra, tocando em um ponto) ou internas (uma completamente dentro da outra, sem se tocar). Essas relações são usadas, por exemplo, no design de engrenagens que precisam se tangenciar corretamente para funcionar em conjunto.
Comprimento de arco
O comprimento de um arco de circunferência é proporcional ao ângulo central que o determina, em relação ao comprimento total da circunferência (360°). Para uma circunferência com raio 9 cm (comprimento total C=2×3,14×9=56,52 cm) e um arco com ângulo central de 60°, calculamos a proporção: 60°÷360° = 1/6 da circunferência total; então o comprimento do arco é 56,52÷6 = 9,42 cm. Esse cálculo é usado, por exemplo, para determinar o comprimento de uma pista curva em uma pista de corrida circular.
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Perguntas frequentes
Qual a diferença entre ângulo central e ângulo inscrito?
O ângulo central tem o vértice no centro da circunferência, enquanto o ângulo inscrito tem o vértice sobre a própria circunferência. Ambos podem "enxergar" o mesmo arco, mas com medidas diferentes.
Qual é a relação entre ângulo inscrito e ângulo central?
O ângulo inscrito é sempre igual à metade do ângulo central que corresponde ao mesmo arco. Se o ângulo central mede 80°, o ângulo inscrito correspondente mede 40°.
O que é uma reta tangente a uma circunferência?
É uma reta que toca a circunferência em exatamente um único ponto, sem cruzá-la. A reta tangente é sempre perpendicular ao raio no ponto de tangência.