Equações do 2º grau
Uma equação do 2º grau é uma equação em que a incógnita aparece elevada ao quadrado, geralmente escrita na forma ax² + bx + c = 0, com a diferente de zero.
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O que é uma equação do 2º grau
Uma equação do 2º grau é toda equação que pode ser escrita na forma ax² + bx + c = 0, em que a, b e c são números reais e a é diferente de zero (se a fosse zero, deixaria de existir o termo x², e a equação seria do 1º grau). Na equação 2x² − 3x + 1 = 0, temos a=2, b=−3 e c=1. Resolver essa equação significa encontrar os valores de x (chamados raízes) que tornam a igualdade verdadeira, e uma equação do 2º grau pode ter até duas soluções reais diferentes.
Fórmula de Bhaskara e o discriminante
A fórmula de Bhaskara permite calcular as raízes de qualquer equação do 2º grau: x = (−b ± √Δ) ÷ (2a), onde Δ (delta) é o discriminante, calculado por Δ = b² − 4ac. O valor de Δ indica quantas soluções reais existem: se Δ for positivo, há duas raízes reais distintas; se Δ for igual a zero, há uma única raiz real (dupla); se Δ for negativo, não existem raízes reais. Esse discriminante é chamado assim porque "discrimina", ou seja, distingue, os diferentes casos possíveis de solução.
Resolvendo uma equação completa passo a passo
Para resolver x² − 7x + 10 = 0, identificamos a=1, b=−7 e c=10. Calculamos o discriminante: Δ = (−7)² − 4×1×10 = 49−40 = 9. Como Δ>0, há duas raízes reais: x = (−(−7) ± √9) ÷ (2×1) = (7±3) ÷ 2. Isso dá duas soluções: x' = (7+3)÷2 = 10÷2 = 5, e x'' = (7−3)÷2 = 4÷2 = 2. Podemos conferir substituindo x=5: 5²−7×5+10 = 25−35+10 = 0, confirmando que é uma raiz correta.
Equações do 2º grau incompletas
Uma equação é incompleta quando b=0 ou c=0 (mas sempre a≠0), e pode ser resolvida sem usar a fórmula de Bhaskara completa. Quando c=0, como em x² − 9x = 0, colocamos x em evidência: x(x−9)=0, então x=0 ou x=9. Quando b=0, como em x² − 16 = 0, isolamos x²: x² = 16, então x = ±√16 = ±4, ou seja, x=4 ou x=−4. Esses métodos diretos são mais rápidos que aplicar a fórmula de Bhaskara nesses casos particulares.
Aplicações de equações do 2º grau em problemas
Equações do 2º grau aparecem em problemas envolvendo áreas e movimento. Por exemplo: "A área de um retângulo é 40 m², e o comprimento é 3 m maior que a largura. Quais são as dimensões?" Chamando a largura de x, o comprimento é x+3, e a área é x(x+3)=40, ou seja, x²+3x−40=0. Calculando Δ = 3²−4×1×(−40) = 9+160=169, e √169=13, temos x=(−3±13)÷2, resultando em x=5 (descartamos a solução negativa x=−8, pois largura não pode ser negativa). A largura é 5 m e o comprimento é 5+3=8 m.
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Perguntas frequentes
O que é o discriminante (delta) e para que serve?
É calculado por Δ = b² − 4ac e indica o número de soluções reais da equação: se Δ>0, há duas soluções reais diferentes; se Δ=0, há uma solução real (dupla); se Δ<0, não há solução real.
Qual é a fórmula de Bhaskara?
x = (−b ± √Δ) ÷ (2a), onde Δ = b² − 4ac. Ela fornece as duas raízes (soluções) possíveis da equação do 2º grau.
Como resolver x² − 5x + 6 = 0?
Aqui a=1, b=−5, c=6. Calculamos Δ = (−5)² − 4×1×6 = 25−24 = 1. Como Δ>0, há duas raízes: x = (5±√1)÷2 = (5±1)÷2, resultando em x=3 ou x=2.