Funções e função afim
O conceito de função descreve uma relação especial entre duas grandezas, em que cada valor de entrada (x) corresponde a exatamente um valor de saída (y), muito usado para modelar situações que envolvem mudança, como o preço de uma corrida de táxi em função da distância percorrida.
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O que é uma função
Uma função é uma regra matemática que associa cada elemento de um conjunto de entrada (domínio) a exatamente um elemento de um conjunto de saída (imagem). Por exemplo, considere a função que relaciona o número de horas trabalhadas (x) ao salário recebido (y), sendo y = 20x, se a pessoa ganha R$ 20,00 por hora. Para x=5 horas trabalhadas, y = 20×5 = 100 reais. Cada quantidade de horas trabalhadas gera exatamente um valor de salário, característica essencial de uma função.
Função afim e seus coeficientes
A função afim, também chamada função do 1º grau, tem a forma y = ax + b, onde a é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear. O coeficiente a indica a taxa de variação de y em relação a x: se a é positivo, a função é crescente (y aumenta quando x aumenta); se a é negativo, a função é decrescente. O coeficiente b indica o valor de y quando x=0, ou seja, onde o gráfico da função cruza o eixo y. Na função y = 3x + 5, temos a=3 (crescente) e b=5 (corta o eixo y em 5).
Construindo o gráfico de uma função afim
O gráfico de uma função afim é sempre uma reta, e para desenhá-la basta encontrar dois pontos que satisfaçam a função. Para y = 2x + 1: quando x=0, y=2×0+1=1, dando o ponto (0,1); quando x=2, y=2×2+1=5, dando o ponto (2,5). Marcando esses dois pontos no plano cartesiano e traçando uma reta que passa por ambos, obtemos o gráfico completo da função, já que dois pontos são suficientes para determinar uma única reta no plano.
Raiz de uma função afim
A raiz (ou zero) de uma função é o valor de x que torna y igual a zero, correspondendo ao ponto onde o gráfico cruza o eixo x. Para encontrar a raiz de y = 4x − 12, igualamos y a zero: 4x − 12 = 0, então 4x = 12, e x = 3. Isso significa que o gráfico dessa função cruza o eixo x exatamente no ponto (3, 0). Em problemas práticos, a raiz pode indicar, por exemplo, o momento em que um saldo bancário chega a zero, dado por uma função que descreve o saldo ao longo do tempo.
Aplicações da função afim no cotidiano
Funções afins modelam muitas situações com uma taxa de variação constante. Uma corrida de táxi com bandeirada fixa de R$ 5,00 mais R$ 2,50 por quilômetro rodado é descrita pela função y = 2,5x + 5, onde x é a distância em km e y é o preço total. Para uma corrida de 8 km, o preço é y = 2,5×8+5 = 20+5 = 25 reais. Esse mesmo tipo de função aparece em contas de água e luz com taxa fixa mais consumo, planos de celular e diversas outras situações de cobrança proporcional com uma parte fixa.
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Perguntas frequentes
O que é uma função?
É uma relação em que cada valor de entrada (x) está associado a exatamente um valor de saída (y). Por exemplo, na função y=2x, para x=3 temos y=6, e esse é o único valor de y associado a x=3.
O que representam os coeficientes a e b na função afim y=ax+b?
O coeficiente a é o coeficiente angular, indicando a inclinação da reta (se positivo, a função é crescente; se negativo, é decrescente). O coeficiente b é o coeficiente linear, indicando onde a reta cruza o eixo y (quando x=0).
Como encontrar a raiz da função y=2x−6?
A raiz é o valor de x que torna y=0. Igualamos: 2x−6=0, então 2x=6, e x=3. A raiz dessa função é x=3.