Semelhança de triângulos
Duas figuras são semelhantes quando têm exatamente a mesma forma, mas podem ter tamanhos diferentes, como uma fotografia ampliada ou reduzida em relação ao original.
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O que são figuras semelhantes
Duas figuras são semelhantes quando possuem exatamente a mesma forma, com ângulos correspondentes iguais e lados correspondentes proporcionais, podendo ter tamanhos diferentes. A razão de semelhança é o valor constante dessa proporção entre os lados correspondentes. Se um triângulo tem lados 3, 4 e 5 cm, e outro triângulo semelhante a ele tem lados 6, 8 e 10 cm, a razão de semelhança é 2 (pois 6÷3=2, 8÷4=2 e 10÷5=2), significando que o segundo triângulo é o dobro do tamanho do primeiro, mantendo a mesma forma.
Critérios de semelhança de triângulos
Existem critérios que garantem a semelhança entre dois triângulos sem precisar verificar todas as medidas. O critério AA (ângulo-ângulo) afirma que se dois ângulos de um triângulo são iguais a dois ângulos de outro, os triângulos são semelhantes (o terceiro ângulo automaticamente também será igual, pois a soma dos ângulos internos é sempre 180°). O critério LLL (lado-lado-lado) afirma que se os três lados são proporcionais entre os dois triângulos, eles são semelhantes. Esses critérios simplificam muito a verificação de semelhança em problemas geométricos.
Cálculo de medidas usando semelhança
Quando dois triângulos são semelhantes, podemos usar a proporção entre seus lados correspondentes para descobrir medidas desconhecidas. Se um triângulo com lados 4, 6 e 8 cm é semelhante a outro cujo lado correspondente ao de 4 cm mede 10 cm, a razão de semelhança é 10÷4=2,5. Então, o lado correspondente ao de 6 cm no segundo triângulo mede 6×2,5=15 cm, e o correspondente ao de 8 cm mede 8×2,5=20 cm, mantendo a mesma proporção em todos os lados correspondentes.
Teorema de Tales
O Teorema de Tales afirma que um feixe de retas paralelas, cortado por duas retas transversais, determina sobre essas transversais segmentos proporcionais. Se três retas paralelas cortam duas transversais e formam, em uma delas, segmentos de 4 cm e 6 cm, e na outra transversal um segmento correspondente de 8 cm, podemos calcular o segmento restante x pela proporção 4/6 = 8/x; aplicando a propriedade fundamental: 4x=6×8=48, então x=12 cm. Esse teorema é a base teórica para muitas construções geométricas envolvendo paralelismo.
Aplicações práticas da semelhança de triângulos
A semelhança de triângulos permite calcular medidas inacessíveis diretamente, como a altura de objetos muito altos. Se uma pessoa de 1,7 m de altura projeta uma sombra de 2 m, e no mesmo instante um prédio projeta uma sombra de 30 m, os triângulos formados pela pessoa/sombra e pelo prédio/sombra são semelhantes (mesmos ângulos, pois o sol incide no mesmo ângulo para ambos). Montamos a proporção: 1,7/2 = altura do prédio/30; multiplicando cruzado: 2×altura = 1,7×30 = 51, então altura = 51÷2 = 25,5 m.
🧠 Mapa mental
Perguntas frequentes
O que significa dois triângulos serem semelhantes?
Significa que eles têm os ângulos correspondentes iguais e os lados correspondentes proporcionais entre si, ou seja, mesma forma, mas possivelmente tamanhos diferentes.
O que diz o Teorema de Tales?
Um feixe de retas paralelas cortado por duas retas transversais determina segmentos proporcionais nessas transversais. Por exemplo, se as paralelas dividem uma transversal em segmentos de 2 e 3, e a outra transversal em segmentos de 4 e x, então 2/3 = 4/x.
Como calcular a altura de um prédio usando semelhança de triângulos?
Comparamos a sombra do prédio com a sombra de um objeto de altura conhecida no mesmo horário, formando triângulos semelhantes, e usamos a proporção entre alturas e sombras para calcular a altura desconhecida.